Question

13．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin（2π-x），cosx），$\overrightarrow{n}$=（sin（$\frac{3}{2}$π-x），cos（π+x）），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（I）求y=f（x）的单调递增区间和对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有f（B）=$\frac{1}{2}$，b=7，sinA+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．再利用正弦函数的单调性和正弦函数的图象的对称性求得y=f（x）的单调递增区间和对称中心．
（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求得B的值，再利用正弦定理求得a+c的值，再利用余弦定理求得ac的值，从而求得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：（I）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin（2π-x）•sin（$\frac{3}{2}$π-x）+cosx•cos（π+x）=$\sqrt{3}$（-sinx）（-cosx）-cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，求得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，-$\frac{1}{2}$），k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∵b=7，sinA+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，由正弦定理可得sinA+sinC=$\frac{a+c}{b}$sinB=$\frac{a+c}{7}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求得a+c=3．
再由余弦定理可得b²=49=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-2ac•cos$\frac{π}{3}$=169-3ac，求得ac=40，
可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的单调性和正弦函数的图象的对称性，属于中档题．