Question

2．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为$\frac{2}{5}$．

专业 性别	中文	英语	数学	体育
男	n	1	m	1
女	1	1	1	1

现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．利用概率求出n即可．
（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．利用古典概型求解概率即可．
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （本小题满分13分）
解：（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．
由题意可知，“数学专业”的学生共有（1+m）人．
则$P（A）=\frac{1+m}{10}=\frac{2}{5}$．
解得 m=3．
所以n=1．…（4分）
（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．
则$P（B）=\frac{C_3^1C_3^2+1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$．…（7分）
（III）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．
由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．
所以$P（ξ=0）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}$，$P（ξ=1）=\frac{C_7^1C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$，$P（ξ=2）=\frac{C_7^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$，$P（ξ=3）=\frac{C_7^3}{{C_{10}^3}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$．
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$

所以 $Eξ=0×\frac{1}{120}+1×\frac{7}{40}+2×\frac{21}{40}+3×\frac{7}{24}=\frac{21}{10}$． …（13分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．