Question

10．设函数f（x），g（x）都是[0，1]上的实值函数，证明：存在x₀，y₀∈[0，1]，使得|x₀y₀-f（x₀）-g（y₀）|≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用反证法进行证明，若对任意实数x、y，都有|xy-f（x）-g（y）|＜$\frac{1}{4}$．记S（x，y）=xy-f（x）-f（y），则|S（0，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（0，1）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，1）|＜$\frac{1}{4}$．再证明|S（0，0）|+|S（0，1）|+|S（1，0）|+|S（1，1）|≥|S（0，0）-S（0，1）-S（1，0）+S（1，1）|=1，即可得出结论．

解答 证明：若对任意实数x、y，都有|xy-f（x）-g（y）|＜$\frac{1}{4}$．
记S（x，y）=xy-f（x）-f（y），则|S（0，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（0，1）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，0）|＜$\frac{1}{4}$，|S（1，1）|＜$\frac{1}{4}$．
而S（0，0）=-f（0）-g（0），S（0，1）=-f（0）-g（1），S（1，0）=-f（1）-g（0），S（1，1）=1-f（1）-g（1）．
∴|S（0，0）|+|S（0，1）|+|S（1，0）|+|S（1，1）|≥|S（0，0）-S（0，1）-S（1，0）+S（1，1）|=1
这与假设相矛盾!，
故原命题成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．