Question

7．化简：
（1）$\sqrt{1-2sin1°•cos1°}$；
（2）$\sqrt{\frac{1+sinθ}{1-sinθ}}$-$\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}$（θ为第二象限角）．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角恒等式变换求的结果．
（2）首先利用倍角公式进行变换，然后对角的范围进行讨论，进一步求得结论．

解答 解：（1）$\sqrt{1-2sin1°•cos1°}$
=$\sqrt{{sin}^{2}1°-2sin1°•cos1°+{cos}^{2}1°}$
=|sin1°-cos1°|
=cos1°-sin1°
（2）$\sqrt{\frac{1+sinθ}{1-sinθ}}-\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}$
=$\sqrt{\frac{{sin}^{2}\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}+{cos}^{2}\frac{θ}{2}}{{sin}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}+{cos}^{2}\frac{θ}{2}}}$-$\sqrt{\frac{{sin}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}+{cos}^{2}\frac{θ}{2}}{{sin}^{2}\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}+{cos}^{2}\frac{θ}{2}}}$
=$\left|\frac{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}{sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}}\right|$-$\left|\frac{sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}}{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}\right|$
=$|tan（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）|$-$|tan（\frac{θ}{2}-\frac{π}{4}）|$
由于θ为第二象限角，
所以：$2kπ+\frac{π}{2}＜θ＜2kπ+π$（k∈Z）
①所以：$kπ+\frac{π}{4}＜\frac{θ}{2}＜kπ+\frac{π}{2}$，
则：$kπ+\frac{π}{2}＜\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}＜kπ+\frac{3π}{4}$，则：$|tan（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）|$=-$tan（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）$
以：$kπ＜\frac{θ}{2}-\frac{π}{4}＜kπ+\frac{π}{4}$，则：$|tan（\frac{θ}{2}-\frac{π}{4}）|$=$tan（\frac{θ}{2}-\frac{π}{4}）$
所以：原式=-$tan（\frac{θ}{2}-\frac{π}{4}）$-$tan（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换问题的应用，角的范围的分类讨论问题，主要考查学生的应用能力．