Question

11．已知函数f（x）=x³-3ax²+4，若f（x）存在唯一的零点x₀，则实数a的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²+4，
∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）；
当a=0时，f（x）=x³-3ax²+4在R上是增函数，
故f（x）存在唯一的零点；
当a＜0时，f（x）=x³-3ax²+4在（-∞，2a）上是增函数，
（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
而且f（0）=4，f（x）存在唯一的零点；
当a＞0时，f（x）=x³-3ax²+4在（-∞，0）上是增函数，
（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；
而且f（0）=4，
故只需使f（2a）=8a³-12a³+4＞0，
解得，a＜1；
综上所述，
实数a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．