Question

6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级．假设某选手正确回答每个问题的概率都是$\frac{2}{3}$，且每个问题回答的正确与否都相互独立．
（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；
（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用独立重复试验求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；
（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求出概率，然后得到随机变量X的分布列，求解期望即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为A，…（1分）
则$P（A）={（\frac{2}{3}）^3}+\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^3}+{（\frac{1}{3}）^2}×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{104}{243}$…（5分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．…（6分）
$P（X=0）={（\frac{1}{3}）^5}=\frac{1}{243}$，
$P（X=1）=C_5^1{（\frac{2}{3}）^1}{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{10}{243}$，
$P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$，
$P（X=3）={（\frac{2}{3}）^3}+\frac{2}{3}[C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}]+\frac{2}{3}[C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^2}]=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}$，
（或$P（X=3）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）]=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}$）（每个一分）…（10分）
随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{192}{243}$

…（11分）
随机变量X的期望$E（X）=0×\frac{1}{243}+1×\frac{10}{243}+2×\frac{40}{243}+3×\frac{192}{243}=\frac{74}{27}$（个）…（13分）

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．