Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，$\frac{π}{6}$），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把直线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把点的极坐标转化为直角坐标，进一步判断点和直线的关系．
（Ⅱ）利用点到直线的距离直接求出最值，主要考虑三角函数的最值问题．

解答 解：（ I）将点P（4，$\frac{π}{6}$）化为直角坐标，得到：P（2$\sqrt{3}$，2），
将直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t为参数），转化为直角坐标方程为：y=$\sqrt{3}x-1$，
因为$\sqrt{3}•2\sqrt{3}-1=5$≠2，
所以点P坐标不满足直线l的方程，
所以点P不在直线l上．                                    
（ II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q（cosθ，2+sinθ）
点Q到直线l：$\sqrt{3}x-y-1=0$的距离为：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2-sinθ-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{6}）-3|}{2}$，
所以当$cos（θ+\frac{π}{6}）=1$时，${d}_{min}=\frac{1}{2}$，
当$cos（θ+\frac{π}{6}）=-1$时，${d}_{max}=\frac{5}{2}$，
故点Q到直线l的距离的最小值为$\frac{1}{2}$，最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值得应用．主要考查学生的应用能力．