Question

7．深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

申请意向 年龄	摇号		竞价（人数）	合计
	电动小汽车（人数）	非电动小汽车（人数）
30岁以下 （含30岁）	50	100	50	200
30至50岁 （含50岁）	50	150	300	500
50岁以上	100	150	50	300
合计	200	400	400	1000

（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出每个人被抽到的概率为P=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，按比例求解得出各种意向人数；
（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有${C}_{10}^{4}$=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：${C}_{4}^{2}$${×C}_{6}^{2}$=90，根据古典概率求解即可．
（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=$\frac{200}{1000}$=$\frac{1}{5}$，判断出此问为二项分B（4，$\frac{1}{5}$），运用几何分布求解即可．

解答 解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，
∵从30至50岁的有500人，
∴每个人被抽到的概率为P=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，
根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×$\frac{1}{50}$=1，
非电动小汽车，摇号的有150×$\frac{1}{50}$=3，
竞价的有300×$\frac{1}{50}$=6，
（2）设电动小汽车，摇号的为a₁，非电动小汽车，摇号的为b₁，b₂，b₃；
竞价的为：c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，
∵选出的10个人中随机抽取4人总共有${C}_{10}^{4}$=210，
其中恰有2人有竞价申请意向的有：${C}_{4}^{2}$${×C}_{6}^{2}$=90，
∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：P=$\frac{90}{210}$=$\frac{3}{7}$．
（3）根据题意得出：样本总人数1000人
电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，
总共有1000人，
用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=$\frac{200}{1000}$=$\frac{1}{5}$，
服从二项分布B（4，$\frac{1}{5}$），摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ=0，1，2，3，4
∴P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}$×（$\frac{1}{5}$）⁰×（$\frac{4}{5}$）⁴=$\frac{256}{625}$．
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$×$\frac{1}{5}$×（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{256}{625}$．
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{1}{5}$）²×（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{96}{625}$．
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{1}{5}$）³×（$\frac{4}{5}$）=$\frac{16}{625}$．
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$×（$\frac{1}{5}$）⁴×（$\frac{4}{5}$）⁰=$\frac{1}{625}$．
分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

E（ξ）=0×$\frac{256}{625}$+1×$\frac{256}{625}$+2×$\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力．