Question

2．以AB为直径的圆内有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，以A，B为焦点的椭圆恰好过C，D两点，当梯形ABCD的周长最大时，此椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得面积的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据椭圆的定义求得椭圆的长轴，利用离心率公式，可得结论．

解答 解：设∠BAC=θ，过C作CE⊥AB，垂足为E，则
BC=2csinθ，BE=BCcos（90°-θ）=2csin²θ，
∴CD=2c-4csin²θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin²θ=4c（sinθ+cos²θ）
=4c（-sin²θ+sinθ+1）=4c[-（sinθ-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$]，
当sinθ=$\frac{1}{2}$时，周长有最大值，此时θ=30°，
则BC=c，AC=$\sqrt{3}$c，a=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$•c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}c}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了椭圆的应用，考查椭圆与圆的综合，考查椭圆的几何性质，充分利用了椭圆的定义．