Question

17．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$$|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，则|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根据已知条件容易判断出△AOB为等边三角形，且边长为2，而C点在以AB为直径的圆上，延长OB到D，使|OB|=|BD|，这样即可得到$2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OD}$．而$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，连接D和圆心E，设C点是与圆的交点，从而|CD|便是$|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最小值，而由余弦定理可求出|DE|，而圆半径为1，从而能得出|CD|的值．

解答 解：由已知条件知cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$；
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）⊥（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$；
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$；
∴C点在以AB为直径的圆上，如下图所示：
延长OB到D，使|OB|=|BD|，连接CD；
则$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$；
设圆心为E，连接D点和圆心，设与圆交点为C，则|CD|便是|2$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值；
由上面知△AOB为等边三角形，边长为2；
∴|BE|=1，|BD|=2，∠EBD=120°；
∴在△BED中由余弦定理得|ED|=$\sqrt{1+4-4×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{7}$；
∴$|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最小值为$\sqrt{7}-1$．
故答案为：$\sqrt{7}-1$．

点评 考查数量积的计算公式，向量夹角的范围，两向量垂直的充要条件，直径所对圆周角为直角，以及余弦定理，圆外一点到圆的最近距离．