Question

5．已知圆C₁：x²+y²=r²（r＞0）的一条直径是椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C₂上一点D（1，$\frac{3}{2}$）的动直线l与圆C₁相交于A，B，弦AB长的最小值是$\sqrt{3}$，求圆C₁和椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析 由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C₁D时，直线AB被圆截得的弦长最短，由弦长公式计算即可得到r=2，再将D的坐标代入椭圆方程，即可求得b，进而得到圆和椭圆的方程．

解答 解：由题意可得a=r，点D在圆内，
当AB⊥C₁D时，直线AB被圆截得的弦长最短，
且为2$\sqrt{{r}^{2}-{C}_{1}{D}^{2}}$=2$\sqrt{{r}^{2}-（1+\frac{9}{4}）}$=$\sqrt{3}$，
解得r=2，即a=2，
点D代入椭圆方程，有$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{3}$，
则有圆C₁的方程为x²+y²=4，椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式是解题的关键．