Question

5．已知等比数列f'（x）满足：a_n＞0，a₁=5，S_n为其前n项和，且20S₁，S₃，7S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₅a₂+log₅a₄+…+log₅a_2n+2，求数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵20S₁，S₃，7S₂成等差数列，
∴2S₃=20S₁+7S₂．
即$2（{a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}）=20{a_1}+7（{a_1}+{a_1}q）$，化简得2q²-5q-25=0，
解得：q=5或$q=-\frac{5}{2}$
∵a_n＞0，∴$q=-\frac{5}{2}$不合舍去，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=5×{5^{n-1}}={5^n}$．
（2）∵b_n=log₅a₂+log₅a₄+…+log₅a_2n+2
=${log_5}（{a_2}{a_4}…{a_{2n+2}}）={log_5}{5^{2+4+…+2n+2}}=2+4+…+2（n+1）$，
=$\frac{（n+1）（2+2n+2）}{2}=（n+1）（n+2）$，
∴$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．