Question

12．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），则当x＜0时，f（x）=（　　）

• A． -x²+ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
• B． x²-ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
• C． -x²+ln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
• D． x²+ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）

Answer 1

分析 求函数f（x）的解析式，先设x＜0，则-x＞0，解出f（-x），再由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），两者联立解出x＜0的解析式．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
所以f（-x）=（-x）²+ln（$\sqrt{1+（-x）^{2}}$-x）=x²+ln（$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$）=x²-ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}+x$）
又f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是f（x）=-f（-x）=-x²+ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}+x$）
故答案为：f（x）=-x²+ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}+x$），x＜0．
故选：A

点评 本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式（即利用f（x）和f（-x）的关系），把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式