Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₈=64．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，通过a₃=5，S₈=64可得首项和公差，计算即可；
（2）通过（1）可知S_n=n²，利用不等式的性质化简可得原命题成立，只需3n²＞1在n≥1时恒成立．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
根据题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知：S_n=n²，
要证：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）恒成立，
只需证：$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需证：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需证：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需证：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1时恒成立，且以上每步均可逆，
从而：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）恒成立．

点评 本题考查等差数列的简单性质，利用不等式的性质进行化简是解决本题的关键，属于中档题．