Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N₊），a₁=$\frac{1}{3}$，则na_n的最小值为$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以3为首项，以3为公差的等差数列，求出其前n项和后代入na_n，然后由数列的函数特性求得na_n的最小值．

解答 解：∵a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N₊），
∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴S_n•S_n-1≠0，
化简得：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=3$，（n≥2，n∈N₊），
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以3为首项，以3为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=3+3（n-1）=3n$，${S}_{n}=\frac{1}{3n}$，
从而$n{a}_{n}=n（{S}_{n}-{S}_{n-1}）=n（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3（n-1）}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{1-\frac{1}{n}}）\\;（n≥2）$（n≥2），
要使na_n最小，则需$1-\frac{1}{n}$最小，即n=2时最小，
此时$n{a}_{n}=\frac{1}{3}（1-2）=-\frac{1}{3}$．
当n=1时，$n{a}_{n}=1×{a}_{1}=1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$＞-\frac{1}{3}$，
故对任意n∈N^*，na_n的最小值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．