Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列{a_n}，则该数列的通项公式为（　　）

• A． a_n=$\frac{n-1}{2}$
• B． a_n=n-1
• C． a_n=（n-1）²
• D． a_n=2ⁿ-2

Answer 1

分析 由题意可求得f（x-n）=x-n；从而可得x=n；故函数g（x）=f（x）-x的零点为0，1，2，3，4，5，…，n-1，…；从而写出其通项公式．

解答 解：当x≤0时，
令f（x）=x，即2^x-1=x；
解得，x=0；
当0＜x≤1时，
令f（x）=x，即f（x-1）+1=x；
即f（x-1）=x-1；
故x-1=0；
故x=1；
当n-1＜x≤n时，
令f（x）=x，即f（x-1）+1=x；
即f（x-2）+2=x，
即f（x-3）+3=x；
…
即f（x-n）+n=x；
即f（x-n）=x-n；
故x-n=0；
故x=n；
故函数g（x）=f（x）-x的零点为0，1，2，3，4，5，…，n-1，…；
故其通项公式为a_n=n-1；
故选B．

点评 本题考查了分段函数的应用及数列的通项公式的求法，属于中档题．