Question

2．已知实数a＞0，解关于x的不等式$\frac{a（x-1）}{x-3}$＞1．

Answer 1

分析 将分式不等式进行化简，根据参数的取值范围，结合一元二次不等式进行求解即可．

解答 解：不等式等价为$\frac{a（x-1）}{x-3}$-1=$\frac{ax-a-x+3}{x-3}$=$\frac{（a-1）x+3-a}{x-3}$＞0．
若a=1，则不等式等价为$\frac{2}{x-3}＞0$，则x＞3，
若a≠1，则不等式等价为$\frac{（a-1）（x+\frac{3-a}{a-1}）}{x-3}$=$\frac{（a-1）（x-\frac{a-3}{a-1}）}{x-3}＞0$，
∵$\frac{a-3}{a-1}=\frac{a-1-2}{a-1}=1-\frac{2}{a-1}$，
∴若a＞1，则$\frac{a-3}{a-1}$＜3，此时不等式等价为$\frac{x-\frac{a-3}{a-1}}{x-3}$＞0，不等式的解为x＞3或x＜$\frac{a-3}{a-1}$，
若0＜a＜1，则$\frac{a-3}{a-1}$＞3，此时不等式等价为$\frac{x-\frac{a-3}{a-1}}{x-3}$＜0不等式的解为3＜x＜$\frac{a-3}{a-1}$，
故当a=1时，不等式的解集为（3，+∞），
当a＞1时，不等式的解集为（3，+∞）∪（-∞，$\frac{a-3}{a-1}$），
当0＜a＜1时，不等式的解集为（3，$\frac{a-3}{a-1}$）．

点评 本题主要考查不等式的求出，注意对参数进行分类讨论，综合性较强，难度较大．