Question

10．已知α，β是方程x²-x-1=0的两个根，且α＜β．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=β，a_n+2=a_n+1+a_n，b_n=a_n+1-αa_n（n∈N^*）．
（1）求b₂-a₂的值；
（2）证明：数列{b_n}是等比数列；
（3）设c₁=1，c₂=-1，c_n+2+c_n+1=c_n（n∈N*），证明：当n≥3时，a_n=（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）．

Answer 1

分析 （1）α，β是方程x²-x-1=0的两个根，利用韦达定理与b₂=a₃-αa₂，即可求得b₂-a₂的值；
（2）反复利用a_n+2=a_n+1+a_n，可求得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=β（定值），b₁=a₂-αa₁=β-α≠0，从而可证数列{b_n}是等比数列；
（3）由（2）知a_n+1-αa_n=（β-α）β^n-1，①又a_n+1=a_n+a_n-1，α+β=1，αβ=-1，可求得得a_n+1-βa_n=0②，从而可得a_n=β^n-1，最后可证得n≥3时，$\frac{（-1）^{n}（α{c}_{n-1}+β{c}_{n+1}）}{（-1）^{n-1}（α{c}_{n-2}+β{c}_{n}）}$=β，从而可使结论得证．

解答 （1）解：∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根，
∴α+β=1，α•β=-1，β²=β+1．
由b₂=a₃-αa₂=a₁+a₂-αa₂=1+a₂-αβ=2+a₂，得b₂-a₂=2；
（2）证明：∵$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}-{αa}_{n+1}}{{a}_{n+1}-α{a}_{n}}$
=$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-α{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-α{a}_{n}}$
=$\frac{（1-α）{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-α{a}_{n}}$
=$\frac{β{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-α{a}_{n}}$
=$\frac{β{a}_{n+1}-αβ{a}_{n}}{{a}_{n+1}-α{a}_{n}}$
=β，
∴数列{b_n}是公比为β的等比数列，
又∵b₁=a₂-αa₁=β-α≠0，
∴{b_n}是首项为β-α，公比为β的等比数列；
（3）证明：由（2）可知 a_n+1-αa_n=（β-α）β^n-1．      ①
同理，a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1）．
又a₂-βa₁=0，于是a_n+1-βa_n=0．                    ②
由①②，得 a_n=β ^n-1．
下面我们只要证明：n≥3时，（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）=β^n-1．
∵$\frac{（-1）^{n}（α{c}_{n-1}+β{c}_{n+1}）}{（-1）^{n-1}（α{c}_{n-2}+β{c}_{n}）}$=-$\frac{α{c}_{n-1}+β{c}_{n-1}-β{c}_{n}}{a{c}_{n-2}+β{c}_{n}}$
=-$\frac{{c}_{n-1}-β{c}_{n}}{α{c}_{n-2}+β{c}_{n}}$
=-$\frac{{c}_{n-2}-{c}_{n}-β{c}_{n}}{α{c}_{n-2}+β{c}_{n}}$
=-$\frac{{c}_{n-2}-（1+β）{c}_{n}}{α{c}_{n-2}+β{c}_{n}}$
=-$\frac{αβ{c}_{n-2}-{β}^{2}{c}_{n}}{α{c}_{n-2}+β{c}_{n}}$=β，
又c₁=1，c₂=-1，c₃=2，
∴当n=3时，（-1）²（αc₁+βc₃）=（α+2β）=1+β=β²，
∴{（-1）^n-1 （αc_n-2+βc_n）}是以β²为首项，β为公比的等比数列．
（-1）^n-1 （αc_n-2+βc_n）是它的第n-2项，
∴（-1）^n-1 （αc_n-2+βc_n）=ⲕβ^n-3=β^n-1=a_n．

点评 本题考查数列递推式，突出考查等比关系的确定，考查抽象思维与逻辑推理的能力，考查转化思想、化归思想与综合运算能力，注意解题方法的积累，属于难题．