Question

5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₇＞0，S₁₈＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$中最大的项为（　　）

• A． $\frac{{S}_{7}}{{a}_{7}}$
• B． $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$
• C． $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$
• D． $\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$

Answer 1

分析 由题意可得a₉＞0，a₁₀＜0，由此可得$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$＞0，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$＞0，…，$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$＞0，$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$＜0，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$＜0，再结合S₁＜S₂＜…＜S₉，a₁＞a₂＞…＞a₉，可得结论．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，S₁₇＞0，且S₁₈＜0，即S₁₇=17a₉＞0，S₁₈=9（a₁₀+a₉）＜0，
∴a₁₀+a₉＜0，a₉＞0，∴a₁₀＜0，∴等差数列{a_n}为递减数列，
故可知a₁，a₂，…，a₉为正，a₁₀，a₁₁…为负；
∴S₁，S₂，…，S₁₇为正，S₁₈，S₁₉，…为负，
则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$＞0，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$＞0，…，$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$＞0，$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$＜0，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$＜0，
又∵S₁＜S₂＜…＜S₉，a₁＞a₂＞…＞a₉，∴$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$最大，
故选：C．

点评 本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．