Question

20．△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D为线段BC上的点，E为线段AB上的点，$\frac{\overrightarrow{|CD|}}{\overrightarrow{|CB|}}$=$\frac{\overrightarrow{|AE|}}{\overrightarrow{|AB|}}$=t，当$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CE}$=$\frac{27}{4}$时实数t的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先根据已知条件建立以C为原点，CA为x轴的平面直角坐标系，从而可求出点A，B，C的坐标，从而求出$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{AB}$的坐标，并且能得到$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CB}=（0，4t）$，$\overrightarrow{AE}=（-3t，4t）$，从而求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$的坐标，进行数量积的坐标运算即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可得出t的值．

解答 解：以C为原点，边CA所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系：
则C（0，0），B（0，4），A（3，0）；
由已知条件$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CB}=（0，4t）$，$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AB}=（-3t，4t）$；
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=（（3，0）+（-3t，4t）$=（3-3t，4t），$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=（-3，0）+（0，4t）=（-3，4t）；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}=-3（（3-3t）+16{t}^{2}$=$16{t}^{2}+9t-9=\frac{27}{4}$；
解得$t=\frac{3}{4}，或-\frac{21}{16}$（舍去）；
即t=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决问题的方法，共线向量基本定理，向量的加法、数量积的坐标运算，解一元二次方程，注意t＞0．