Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=2，S_n+2=2a_n，n∈N⁺，
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求证$\frac{{a}_{1}}{（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）}+\frac{{a}_{2}}{（{a}_{2}+1）（{a}_{3}+1）}$+…+$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}＜\frac{1}{3}$
（Ⅲ）设b₁，b₂，…，b₂₀₁₅是数列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅的任意一个排列，求（${a}_{1}+\frac{1}{{b}_{1}}$）$（{a}_{2}+\frac{1}{{b}_{2}}）…（{a}_{2015}+\frac{1}{{b}_{2015}}）$的最大值，并说明何时取到等号．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，运用a_n=S_n-S_n-1，再由等比数列的定义和通项公式，即可得到；
（Ⅱ）运用裂项相消求和，由$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，累加即可得证；
（Ⅲ）由（ab+1）²=a²b²+2ab+1≤a²b²+a²+b²+1=（a²+1）（b²+1），所以ab+1≤$\sqrt{（{a}^{2}+1）（{b}^{2}+1）}$，运用不等式的性质，即可得到最大值，当且仅当a_i=b_i（i=1，2，…，2015）时取等号．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n}+2=2{a}_{n}}\\{{S}_{n-1}+2=2{a}_{n-1}}\end{array}\right.$，
相减可得a_n=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，
所以{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故a_n=2ⁿ；       
（Ⅱ）证明：$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
即有$\frac{2}{（2+1）（{2}^{2}+1）}$+$\frac{{2}^{2}}{（{2}^{2}+1）（{2}^{3}+1）}$+…+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$     
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$＜$\frac{1}{3}$；  
（Ⅲ）由（a₁+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（a₂+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（a_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$\frac{（{a}_{1}{b}_{1}+1）（{a}_{2}{b}_{2}+1）•…•（{a}_{n}{b}_{n}+1）}{{b}_{1}•{b}_{2}•…•{b}_{n}}$
=$\frac{（{a}_{1}{b}_{1}+1）（{a}_{2}{b}_{2}+1）•…•（{a}_{n}{b}_{n}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$，
又（ab+1）²=a²b²+2ab+1≤a²b²+a²+b²+1=（a²+1）（b²+1），
所以ab+1≤$\sqrt{（{a}^{2}+1）（{b}^{2}+1）}$，
$\frac{（{a}_{1}{b}_{1}+1）（{a}_{2}{b}_{2}+1）•…•（{a}_{n}{b}_{n}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$•$\sqrt{（{{a}_{1}}^{2}+1）（{{b}_{1}}^{2}+1）}$•$\sqrt{（{{a}_{2}}^{2}+1）（{{b}_{2}}^{2}+1）}$•…•$\sqrt{（{{a}_{n}}^{2}+1）（{{b}_{n}}^{2}+1）}$=$\frac{（{{a}_{1}}^{2}+1）（{{a}_{2}}^{2}+1）•…•（{{a}_{n}}^{2}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…{•a}_{n}}$．
当且仅当a_i=b_i（i=1，2，…，n）时取等号．
则（${a}_{1}+\frac{1}{{b}_{1}}$）$（{a}_{2}+\frac{1}{{b}_{2}}）•…•（{a}_{2015}+\frac{1}{{b}_{2015}}）$的最大值为$\frac{（4+1）（16+1）•…•（{2}^{4030}+1）}{2•{2}^{2}•…•{2}^{2015}}$，
当且仅当a_i=b_i（i=1，2，…，2015）时取等号．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的求法，同时考查数列求和的方法：裂项相消求和，以及最值的求法，属于中档题和易错题．