Question

2．为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值，继而求出相应小组的人数，再设中位数为m，列出关于m的方程解得即可；
（2）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果

解答 解：（1）设前3组的频率依次为3x，8x，19x，则由题意可得：3x+8+19x=1-0.32-0.08=0.6，
由此得：x=0.02，
∴第二组的频率为0.16，
∵第二组的频数为8，
∴抽取的学生总人数为$\frac{8}{0.16}=50$人，
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数=0.32×50=16人，
设所求中位数为m，由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38
则0.06+0.16+0.38（m-15）=0.5，
解得m=15.74
所以估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒． 
（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A．
由（1）可知从第一组抽取的人数=0.02×3×50=3人，不妨记为a，b．c
从第五组抽取的人数=0.08×50=4人，不妨记为1，2，3，4，
则从第一、五组中随机取出两个成绩有：ab，ac．a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，
c4，12，13，14，23，24，34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种．
∴$P（A）=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$
∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．