Question

7．已知O是正三角形△ABC内部的一点，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可，

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，变为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
设D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，2$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$，
故$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$，
由于正三角形ABC，
故S_△AOC=$\frac{2}{3}$S_△ADC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$×S_△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为$\frac{2}{3}$．
故选：B

点评 本题考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义，本题中把两个三角形的面积都用三角形ABC的面积表示出来，这是求比值问题时常采用的思路，统一标准，属于中档题．