Question

19．各项均为正数的数列{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有2S_n=b_n（b_n+1）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）如果等比数列{a_n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a_n}的每相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个（-1）^kb_k（k∈N^*）后，得到一个新的数列{c_n}．求数列{c_n}中所有项的和；
（3）如果存在n∈N^*，使不等式 $（n+1）（{{b_n}+\frac{8}{b_n}}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立，求实数λ的范围．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；
（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；
（3）运用参数分离可得$n+\frac{8}{n}≤λ≤1+\frac{20}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当n=1时，由2S₁=b₁（b₁+1）得b₁=1，
当n≥2时，由2S_n=b_n（b_n+1），2S_n-1=b_n-1（b_n-1+1）得（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=b_n+b_n-1
因数列{b_n}的各项均为正数，所以b_n-b_n-1=1，
所以数列{b_n}是首项与公差均为1的等差数列，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=n．            
（2）数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$，
数列{c_n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，
其所有项的和为S_1008×2015=（2+2²+…+2²⁰¹⁵）+（-1+2²-3²+4²-…2013²+2014²）
=2（2²⁰¹⁵-1）+[3+7+…+4027]=2²⁰¹⁶-2+$\frac{3+4027}{2}$×1007
=2²⁰¹⁶+2015×1007-2=2²⁰¹⁶+2029103；
（3）由$（n+1）（{{b_n}+\frac{8}{b_n}}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$，
得$n+\frac{8}{n}≤λ≤1+\frac{20}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$，
记${A_n}=n+\frac{8}{n}，{B_n}=1+\frac{20}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$
因为${A_n}=n+\frac{8}{n}≥4\sqrt{2}$，当$n=2\sqrt{2}$取等号，所以${A_n}=n+\frac{8}{n}$取不到$4\sqrt{2}$，
当n=3时，${A_n}=n+\frac{8}{n}$的最小值为${A_3}=5\frac{2}{3}$${B_n}=1+\frac{20}{{{{（n+1）}^2}}}$（n∈N^*）递减，
${B_n}=1+\frac{20}{{{{（n+1）}^2}}}$的最大值为B₁=6，
所以如果存在n∈N^*，使不等式 $（n+1）（{{b_n}+\frac{8}{b_n}}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立
实数λ应满足A₃≤λ≤B₁，即实数λ的范围应为$[{\frac{17}{3}，6}]$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．