Question

17．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1
（Ⅰ）求椭圆E的方程：
（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F₁，Q，F₂，M，P五点共圆．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△AF₁F₂是等边三角形可得a=2c，结合椭圆的右顶点到右焦点的距离为1求得a，c的值，进一步求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立求得M坐标，根据直线MQ⊥PM求得直线MQ的方程，求出P，Q的坐标，然后利用向量数量积为0得到PF₂⊥QF₂，PF₁⊥QF₁，再由PM⊥QM，可得点F₁，Q，F₂，M，P都在以PQ为直径的圆上．

解答 （Ⅰ）解：如图，∵△AF₁F₂是等边三角形，∴a=2c，
又∵椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，∴a-c=1，则a=2，c=1，从而b=$\sqrt{3}$，
故椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率必存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8mkx+4m²-12=0．
令△=0，即64m²k²-16（4k²+3）（m²-3）=0，
化简得：m²=4k²+3＞0．
设M（x₁，y₁），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{4mk}{4{k}^{2}+3}}\\{{y}_{1}=\frac{3m}{4{k}^{2}+3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{4k}{m}}\\{{y}_{1}=\frac{3}{m}}\end{array}\right.$．
即M（$-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}$）．
又∵直线MQ⊥PM，∴直线MQ的方程为$y-\frac{3}{m}=-\frac{1}{k}（x+\frac{4k}{m}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{m}=-\frac{1}{k}（x+\frac{4k}{m}）}\\{x=0}\end{array}\right.$，得Q（0，$-\frac{1}{m}$），
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=0}\end{array}\right.$，得P（0，m）．
由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}=（1，-m），\overrightarrow{Q{F}_{2}}=（1，\frac{1}{m}）$，$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-1，-m），\overrightarrow{Q{F}_{1}}=（-1，\frac{1}{m}）$．
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}•\overrightarrow{Q{F}_{2}}=1+（-m）×\frac{1}{m}=0$，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{Q{F}_{1}}=1+（-m）×\frac{1}{m}=0$．
∴PF₂⊥QF₂，PF₁⊥QF₁，
又PM⊥QM，∴点F₁，Q，F₂，M，P都在以PQ为直径的圆上．
故F₁，Q，F₂，M，P五点共圆．

点评 本题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是难题．