Question

8．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）若f（x）在=-$\frac{2}{3}$和x=1时都取得极值，求实数a，b的值及函数的单调区间；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，f（x）在（-2，$\frac{1}{4}$）上有极小值，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）并令其为0得到方程，把x=-$\frac{2}{3}$和x=1代入求出a、b即可，再求出f′（x），分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）由f（0）=0，f（1）=1，得到c=0，b=-a，再求f（x）的导数，由题意可得不等式组，解不等式即可得到a的取值范围

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{3{（-\frac{2}{3}）}^{2}-\frac{4}{3}a+b=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
即有f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＜0，解得-$\frac{2}{3}$＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞1，
∴f（x）的减区间为（-$\frac{2}{3}$，1）；增区间为（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，则c=0，1+a+b+c=1，则有b=-a，c=0，
则有f（x）=x³+ax²-ax，f′（x）=3x²+2ax-a，
由于f（x）在（-2，$\frac{1}{4}$）上有极小值，
即为$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）＞0}\\{f′（\frac{1}{4}）＜0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{12-4a-a＞0}\\{\frac{3}{16}+\frac{1}{2}a-a＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{8}$＜a＜$\frac{12}{5}$，
则实数a的取值范围为（$\frac{3}{8}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．