Question

16．已知公差大于零的等差数列{a_n}，各项均为正数的等比数列{b_n}，满足a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n为偶数\\{b_n}，n为奇数\end{array}$，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）由于偶数项是公差为2等差数列，奇数项是公比为4等比数列，因此对数列{c_n}的前2n项和T_2n分组求和可得：T_2n=（2+2³+…+2^2n-1）+（2+4+…+2n），
再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3d=2q}\\{1+7d=2{q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（II）由于偶数项是公差为2等差数列，奇数项是公比为4等比数列，因此对数列{c_n}的前2n项和T_2n分组求和可得：
T_2n=（2+2³+…+2^2n-1）+（2+4+…+2n）
=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$+$\frac{n（2+2n）}{2}$
=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$+n（n+1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．