Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+6，且a₁=6．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{（{3^n}-1）（{S_n}+2）}}$，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）令n=1，由a₁=S₁，即可得到所求；
（2）将n换成n-1，两式相减，再结合等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；
（3）求出S_n，可得b_n，再由裂项相消求和，计算即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，a₂=2S₁+6=2a₁+6=18，∴a₂=18；
（2）由a_n+1=2S_n+6①，得a_n=2S_n-1+6（n≥2）②
①-②：得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=6，a₂=18，所以a₂=3a₁，
∴数列{a_n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴${a_n}=6•{3^{n-1}}=2•{3^n}$；
（3）证明：由（2）得：${a_{n+1}}=2•{3^{n+1}}$，
故${S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}-3={3^{n+1}}-3$，${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{（{3^n}-1）（{S_n}+2）}}=\frac{{4•{3^n}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=\frac{{2（{3^{n+1}}-1）-（{3^n}-1）}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=2（{\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}}）$
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=2（\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}+\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}+…+\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$
=$2•（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）＜1$．

点评 本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项和数列的求和方法：裂项求和，考查运算能力，属于中档题．