Question

12．一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如图1，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如图2

（Ⅰ）求证：AE∥BF；
（Ⅱ）过A、D、F三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比．

Answer 1

分析 （I）由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，取BE的中点O，可得：BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，可得∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，设AB=2a，在△AOC中与在△FOC中，分别利用余弦定理可得：cos∠AOC=-$\frac{1}{3}$，cos∠FOC=$\frac{1}{3}$，可得∠AOC+∠FOC=180°，即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，可得ABFE四点共面，进而得到：AE∥BF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形ABFE，四边形CDEF都是菱形，因此过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，连接BD、FD，利用V_F-ABCD=V_F-BCD+V_F-ABD=2V_F-BCD=2V_B-CDF=2V_A-DEF，即可得出．

解答 （I）证明：由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，
取BE的中点O，连接AO、FO、CO、AC，则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，
∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，
设AB=2a，则AO=FO=CO=$\sqrt{3}a$，AC=$2\sqrt{2}a$，
在△AOC中，$cos∠AOC=\frac{{{{（\sqrt{3}a）}^2}+{{（\sqrt{3}a）}^2}-{{（2\sqrt{2}a）}^2}}}{{2×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}}=-\frac{1}{3}$，
在△FOC中，$cos∠FOC=\frac{{{{（\sqrt{3}a）}^2}+{{（\sqrt{3}a）}^2}-{a^2}}}{{2×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}}=\frac{1}{3}$
∴∠AOC+∠FOC=180°，即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，
∴ABFE四点共面，
又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，
∴过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，
连接BD、FD，
则V_F-ABCD=V_F-BCD+V_F-ABD=2V_F-BCD=2V_B-CDF=2V_A-DEF，
∴截面把多面体分成上、下两部分的体积比为1：2．

点评 本题考查了二面角的定义及其作法、三棱锥与四棱锥的体积计算公式、菱形的性质、余弦定理、线线平行，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．