Question

7．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+a），其中a是常数．
（1）若f（x）=cosx+sinx，且a=$\frac{π}{2}$，求g（x）的解析式，并写出g（x）的递增区间；
（2）设f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，若g（x）的最小值为6，求常数a的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=cosx+sinx，a=$\frac{π}{2}$得f（x+a）=cosx-sinx；从而化简g（x）=cos2x；再由π+2kπ≤x≤2π+2kπ，k∈Z求增区间；
（2）化简g（x）=f（x）•f（x+a）=（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）（2^x+a+$\frac{1}{{2}^{x+a}}$）=2^a（2^x）²+$\frac{1}{{2}^{a}（{2}^{x}）^{2}}$+2^a+$\frac{1}{{2}^{a}}$；从而利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，a=$\frac{π}{2}$；
∴f（x+a）=cosx-sinx；
∴g（x）=f（x）•f（x+a）=cos2x；
由π+2kπ≤x≤2π+2kπ，k∈Z；
得：递增区间为[$\frac{1}{2}$π+kπ，π+kπ]，（k∈Z）；
（2）∵g（x）=f（x）•f（x+a）
=（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）（2^x+a+$\frac{1}{{2}^{x+a}}$）
=（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）（2^x•2^a+$\frac{1}{{2}^{x}{2}^{a}}$）
=2^a（2^x）²+$\frac{1}{{2}^{a}（{2}^{x}）^{2}}$+2^a+$\frac{1}{{2}^{a}}$≥2^a+$\frac{1}{{2}^{a}}$+2=6；
（当且仅当2^a（2^x）²=1时，等号成立）；
故2^a=2±$\sqrt{3}$；
故a=$lo{g}_{2}（2±\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了三角函数的化简与应用及基本不等式在求最值时的应用，属于中档题．