Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{|x|}$，g（x）=$\frac{x+|x-1|}{2}$，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）
• C． （-2，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）
• D． （-∞，-2）∪（1，2）

Answer 1

分析 化简不等式f（x）＞g（x），得到一个绝对值不等式，对x＞0，和x＜0两种情况进行讨论，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．

解答 解：f（x）＜g（x）
∴$\frac{1}{|x|}$＜$\frac{x+|x-1|}{2}$（x≠0），
即$\frac{x+|x-1|}{2}$•|x|＞1，
1°当x＞1时，原不等式可化为$\frac{x+x-1}{2}•x＞1$，
即2x²-x-2＞0，解得x＞$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$或x＜$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$（舍）
所以不等式的解集为（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）；
2°当x＜0时，原不等式可化$\frac{x-（x-1）}{2}•（-x）＞1$，
即$-\frac{1}{2}x＞1$，则x＜-2，
3°若0＜x≤1，则原不等式可化$\frac{x-（x-1）}{2}•x$＞1，
即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，此时不等式不成立，
综上，不等式的解集为（-∞，-2）∪（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题主要考查绝对值不等式的求解，根据绝对值的几何意义，进行分类讨论是解决本题的关键．