Question

3．己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为万，点（$\frac{5π}{24}$，0）为它的图象的一个对称中心．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及周期公式可求ω，由$（\frac{5π}{24}，0）$为f（x）的图象的对称中心，且0＜φ＜$\frac{π}{2}$可求φ，可得函数解析式，$令2kπ-π≤2x+\frac{π}{12}≤2kπ$，即可解得f（x）的单调递增区间（Ⅱ）由f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$结合A的范围可求得A的值，由余弦定理可求得：a²=（b+c）²-3bc，从而有${（b+c）^2}=9+3bc≤9+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期T=π，
∴ω=2，
∵$（\frac{5π}{24}，0）$为f（x）的图象的对称中心，
$\begin{array}{l}∴2×\frac{5π}{24}+φ=kπ+\frac{π}{2}\;\;且0＜φ＜\frac{π}{2}\\∴φ=\frac{π}{12}\end{array}$
∴$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{12}）$，…（4分）
∴$令2kπ-π≤2x+\frac{π}{12}≤2kπ$，可解得：$kπ-\frac{13π}{24}≤x≤kπ-\frac{π}{24}$，k∈Z．
故$f（x）单调递增区间为：[{kπ-\frac{13π}{24}，kπ-\frac{π}{24}}]k∈Z$．…（6分）
（Ⅱ）∵$f（-\frac{A}{2}）=2cos（A-\frac{π}{12}）=\sqrt{2}∴cos（A-\frac{π}{12}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵$-\frac{π}{12}＜A-\frac{π}{12}＜\frac{11π}{12}\;\;\;\;∴A-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}∴A=\frac{π}{3}$，…（9分）
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
∴${（b+c）^2}=9+3bc≤9+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，
∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．
故b+c的最大值为6…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．