Question

18．已知函数f（x）=|x+a|+|x+1|+a．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若存在x∈[-2，-1]，使f（x）≤|x-2|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5，即|x+1|＞2，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）当x∈[-2，-1]时，f（x）≤|x-2|等价于|x+a|≤3-a，等价于$\left\{\begin{array}{l}{3-a≥0}\\{{（x+a）}^{2}{≤（3-a）}^{2}}\end{array}\right.$，等价于2a≤（3-x）_max=5，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5，即|x+1|＞2，∴x+1＞2或 x+1＜-2，
求得x＜-3 或x＞1，故不等式的解集为{x|x＜-3 或x＞1}．
（Ⅱ）当x∈[-2，-1]，有 x+1≤0，x-2＜0，故f（x）≤|x-2|等价于|x+a|≤3-a，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{3-a≥0}\\{{（x+a）}^{2}{≤（3-a）}^{2}}\end{array}\right.$，等价于$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{（x+3）（x+2a-3）≤0}\end{array}\right.$，等价于$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{2a≤3-x}\end{array}\right.$，
∴2a≤（3-x）_max=5，即 a≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．