Question

13．若对任意非负实数x都有$（{x-m}）•{e^{-x}}-\sqrt{x}＜0$，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． $（-∞，-\frac{1}{e}）$
• D． $（-\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 由题意可得m＞x-e^x•$\sqrt{x}$，令f（x）=x-e^x•$\sqrt{x}$，求出函数f（x）的导数，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的范围．

解答 解：对任意非负实数x都有（x-m）e^-x-$\sqrt{x}$＜0，
即为x-m＜e^x•$\sqrt{x}$，
即有m＞x-e^x•$\sqrt{x}$，
令f（x）=x-e^x•$\sqrt{x}$，
f′（x）=1-e^x•（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）
由x＞0可得e^x＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
则e^x•（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
即f′（x）＜0，即有f（x）在[0，+∞）递减，
则f（x）的最大值为f（0）=0，
则有m＞0，
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和运用导数判断单调性是解题的关键．