Question

5．己知二次函数f（x）=ax²+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a，b所满足的关系；
（Ⅱ）试判断是否存在a∈（-2，0）∪（0，2），使得对?x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出F（x）的导数，由题意可得F′（1）=2a+b-1=0，令导数为0，即可得到a，b的关系；
（Ⅱ）对a讨论，当0＜a＜2时，当a∈（-2，0）且a≠-$\frac{1}{2}$时ⅰ）若-$\frac{1}{2a}$＜1即-2＜a＜-$\frac{1}{2}$时，ⅱ） 若1＜-$\frac{1}{2a}$＜2即-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{4}$时，ⅲ） 若-$\frac{1}{2a}$≥2即-$\frac{1}{4}$≤a＜0时，运用单调性求得最值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=ax²+bx+1-ln（ex），F′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$，
由F（x）在x=1处取极值，则F′（1）=2a+b-1=0，
F′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（1-2a）x-1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$=0，
解得x₁=-$\frac{1}{2a}$，x₂=1且x₁≠x₂，a≠-$\frac{1}{2}$，
∴$2a+b-1=0\;（a≠-\frac{1}{2}）$为a，b所满足的关系；
（Ⅱ）F（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
当0＜a＜2时，由x∈[1，2]，且（x+a）F（x）≥0，则F（x）≥0，
F′（x）=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$≥0，F（x）在[1，2]增，
F（x）≥F（1）=1-a≥0即可，即有a∈（0，1]，
当a∈（-2，0）且a≠-$\frac{1}{2}$时，x₁=-$\frac{1}{2a}$，x₂=1，
ⅰ）若-$\frac{1}{2a}$＜1即-2＜a＜-$\frac{1}{2}$时，F（x）在[1，2]单调递减，
即0＜2-ln2≤F（x）≤1-a，即x+a≥0即a≥-x，可得a≥-1，
故可得  a∈[-1，-$\frac{1}{2}$）．
ⅱ） 若1＜-$\frac{1}{2a}$＜2即-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{4}$时，F（x）在区间（1，-$\frac{1}{2a}$）上单调递增，在区间（-$\frac{1}{2a}$，2）上单调递减．
F（x）≥F（1）=1-a＞0，F（x）≥F（2）=2-ln2＞0，
即有（x+a）F（x）≥0恒成立，则a∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．
ⅲ） 若-$\frac{1}{2a}$≥2即-$\frac{1}{4}$≤a＜0时，
F（x）在[1，2]增，且（x+a）F（x）≥0恒成立，即有a∈[-$\frac{1}{4}$，0），
综上a的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查单调区间的求法和运用，同时考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想，属于中档题．