Question

15．如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
（Ⅰ）求证：EP⊥AC；
（Ⅱ）当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线线垂直的转换关系三角形的中位线定理，得到线线垂直和线线平行，再转化为线面垂直，最后转化为线线垂直．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的部分结论，首先找到直线与平面之间的夹角，再利用解直角三角形知识求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，
由于：S-ABCD是正四棱锥，
则：SO⊥平面ABCD，
所以：SO⊥AC，
由于：AC⊥BD，
所以：AC⊥平面SBD，
则：AC⊥SD，
由于：BD⊥AC，
所以：AC⊥平面SBD，
则：AC⊥SD，
F，G分别为SC，CD的中点，
所以：SD∥FG，
所以：AC⊥GF，
由于：AC⊥GE，
所以：AC⊥平面GEF，
又：PE?平面GEF，
所以：EP⊥AC．
（Ⅱ）过B作BH⊥GE于点H，连接PH，
由于：BD⊥AC，
BD∥GF，
所以：BH∥AC，
由（Ⅰ）知：AC⊥平面GEF，
则：BH⊥平面GEF，
所以：∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．
由于：SA=AB=2，
所以在Rt△BHP中，解得：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，PB=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
则：cos∠BPH=$\frac{PH}{PB}=\frac{\sqrt{195}}{15}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面垂直与线线垂直间的转化，线面的夹角的应用，及相关的运算问题．主要考查学生的空间想象能力和运算能力．