Question

3．若函数f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+bx+d的导函数有三个零点，分别为x₁，x₂，x₃且满足：x₁＜-2，x₂=2，x₃＞2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，-3）
• C． （-7，+∞）
• D． （-∞，-12）

Answer 1

分析 首先求导f′（x）=x³+ax+b；再由题意可因式分解成f′（x）=（x-2）（x²+2x+a+4）；从而可得x²+2x+a+4=0的两根为x₁＜-2，x₂＞2，从而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+bx+d，
∴f′（x）=x³+ax+b；
又∵f′（x）=x³+ax+b有三个零点，且x₁＜-2，x₂=2，x₃＞2，
故f′（x）=（x-2）（x²+2x+a+4）；
故x²+2x+a+4=0的两根为x₁＜-2，x₂＞2，
故只需使2²+2×2+a+4＜0，
解得，a＜-12；
故选D．

点评 本题考查了导数的运算及因式分解的应用，同时考查了二次函数的性质应用，属于中档题．