Question

12．已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a²+b²+c²+9d²=9R²．

Answer 1

分析 以△ABC的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n），求出m，n，进而可证明a²+b²+c²+9d²=9R²．

解答 证明：以△ABC的外心为原点建立坐标系，显然，△ABC的外接圆方程是：x²+y²=R²．
∴可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．
令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n）．
由中点坐标公式，得D的坐标为（$\frac{1}{2}$R（cosα+cosβ），$\frac{1}{2}$R（sinα+sinβ））．
∵$\frac{CG}{DG}$=2，
∴有m=$\frac{Rcosγ+2R•\frac{1}{2}（cosα+cosβ）}{1+2}$=$\frac{1}{3}$R（cosα+cosβ+cosγ），n=$\frac{1}{3}$R（sinα+sinβ+sinγ）．
于是：
a²=（Rcosβ-Rcosγ）²+（Rsinβ-Rsinγ）²=R²（2-2cosβcosγ-2sinβsinγ）
b²=（Rcosα-Rcosγ）²+（Rsinα-Rsinγ）²=R²（2-2cosαcosγ-2sinαsinγ），
c²=（Rcosα-Rcosβ）²+（Rsinα-Rsinβ）²=R²（2-2cosαcosβ-2sinαsinβ）．
9d²=9[（m-0）²+（n-0）²]=9{[$\frac{1}{3}$R（cosα+cosβ+cosγ）-0]²+[$\frac{1}{3}$R（sinα+sinβ+sinγ）-0]²}
=R²[（cosα+cosβ+cosγ）²+（sinα+sinβ+sinγ）²]
=R²（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）．
∴a²+b²+c²+9d²=9R²．

点评 本题考查综合法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．