Question

2．若对任意正数x，不等式$\frac{1}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{a}{x}$恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 恒成立，利用基本不等式求得$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 的最大值为$\frac{1}{2}$，从而求得实数a的最小值．

解答 解：由题意可得a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 恒成立．
由于$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$ （当且仅当x=1时，取等号），故 $\frac{x}{{x}^{2}+1}$ 的最大值为$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，即a得最小值为$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．