Question

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，则cosA+cosB的值为$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 由条件求得cosB的值，再根据cosA=-cos（B+C）=-cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．

解答 解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，∴cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$，
cosA=-cos（B+C）=-cos（120°+B）=-cos120°cosB+sin120°sinB=$\frac{1}{2}×\frac{11}{14}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{13}{14}$，
故cosA+cosB=$\frac{13}{14}$+$\frac{11}{14}$=$\frac{12}{7}$，
故答案为：$\frac{12}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．