Question

5．某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如图表所示．

组号	年龄 分组	答对全卷 的人数	答对全卷的人数 占本组的概率
1	[20，30）	28	b
2	[30，40）	27	0.9
3	[40，50）	5	0.5
4	[50，60]	a	0.4

（1）分别求出a，b，c，n的值；
（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X为第3组被授予“环保之星”的人数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求出c，求出第3组人数，然后求解b，a．
（2）求出X的取值为0，1，2，以及相应的概率，得到X的分布列，然后求解期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）根据频率直方分布图，得（0.010+0.025+c+0.035）×10=1，
解得c=0.03．…（1分）
第3组人数为5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100．…（2分）
第1组人数为100×0.35=35，所以b=28÷35=0.8．…（3分）
第4组人数为100×0.25=25，所以a=25×0.4=10．…（4分）
（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5：10=1：2，
所以第3，4组应依次抽取2人，4人．…（5分）
依题意X的取值为0，1，2．…（6分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$，…（7分）
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{8}{15}$…（8分）
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{0}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{1}{15}$，…（9分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

所以EX=0×$\frac{2}{5}$$+1×\frac{8}{15}$$+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$． …（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，离散型分布列以及期望，考查计算能力．