Question

16．已知函数f（x）=x²-2ax+1，g（x）=$\frac{a}{x}$，其中a＞0，x≠0．
（1）对?x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）对?x₁∈[1，2]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以采用分离参数法，导数法研究恒成立问题；
（2）首先讨论或求解出两个函数的最大值或最小值，根据恒成立的条件进行求解．

解答 解：（1）∵x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，
∴${x}^{2}-2ax+1＞\frac{a}{x}$，即x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，$a＜\frac{{x}^{3}+x}{2{x}^{2}+1}$，
令$h（x）=\frac{{x}^{3}+x}{2{x}^{2}+1}$，则${h}^{′}（x）=\frac{2{x}^{4}+{x}^{2}+1}{2{x}^{2}+1}＞0$
∴h（x）在x∈[1，2]上为增函数∴$h（x）_{min}=h（1）=\frac{2}{3}$，
∴实数a的取值范围是0＜a＜$\frac{2}{3}$．
（2）当x₂∈[2，4]时g（x₂）为减函数，
∴$g（{x}_{2}）_{max}=g（2）=\frac{a}{2}$，当0＜a≤1时f（x₁）_min=f（1），
又∵f（1）=2-2a∴依题意有f（1）＞g（2），解得0＜a＜$\frac{4}{5}$；
当1＜a＜2时$f（{x}_{1}）_{min}=f（a）=1-{a}^{2}$，
∴1-a²＞$\frac{a}{2}$解得：0＜a＜$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$∴此时没有符合题意的实数值a；
当a≥2时，f（x₁）_min=f（2）=5-4a，
∴依题意有5-4a＞$\frac{a}{2}$，解得a＜$\frac{10}{9}$，∴不成立；
总上可得 符合题意的实数a的取值范围是0＜a＜$\frac{4}{5}$．

点评 重点考查不等式恒成立的条件，以及分类讨论思想，理解同一区间上和不同区间上函数的最值．