Question

8．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ-n，等差数列{b_n}的各项为正实数，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比数列．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，当n≥2时求数列{c_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2ⁿ-n，当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．由T₃=15=3b₂，解得b₂=5，设等差数列{b_n}的公差为d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比数列，$（{a}_{2}+{b}_{2}）^{2}$=（a₁+b₁）（a₃+b₃-1），解得d，利用等差数列的通项公式即可得出b_n．
（II）${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（2n+1）（{2}^{n-1}-1），n≥2}\end{array}\right.$．设G_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，利用“错位相减法”可得G_n，即可得出A_n．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ-n，
∴当n=1时，a₁=2-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-n-[2^n-1-（n-1）]=2^n-1-1，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}-1，n≥2}\end{array}\right.$．
∵T₃=15=b₁+b₂+b₃=3b₂，解得b₂=5，
设等差数列{b_n}的公差为d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比数列，
∴$（{a}_{2}+{b}_{2}）^{2}$=（a₁+b₁）（a₃+b₃-1），
∴（1+5）²=（1+5-d）（3+5+d-1），化为d²+d-6=0，解得d=2或-3．
又等差数列{b_n}的各项为正实数，
∴d=2．
∴b_n=b₂+（n-2）d=5+2（n-2）=2n+1．
（II）${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（2n+1）（{2}^{n-1}-1），n≥2}\end{array}\right.$．
设G_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，
则2G_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，
∴-G_n=3+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n+1）•2ⁿ=1+2+2²+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴G_n=（2n-1）•2ⁿ+1，
当n≥2时，A_n=（2n-1）•2ⁿ+1-$\frac{（n-1）（5+2n+1）}{2}$
=（2n-1）•2ⁿ+4-n²-2n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“错位相减法”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．