Question

18．已知在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边长，求∠B的范围；若∠B=45°，求∠A．

Answer 1

分析 由余弦定理求得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，由a²+c²≥2ac，得cosB≥$\frac{1}{2}$，再由0＜B＜π 得 B≤$\frac{π}{3}$，正弦由定理及B=$\frac{π}{4}$，故sin²A=cos²C，故sinA=±cosC=cos（$\frac{3}{4}$π-A）=±sin（A-$\frac{π}{4}$），从而求得A的值．

解答 解：由余弦定理，得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$． …（3分）
因a²+c²≥2ac，∴cosB≥$\frac{1}{2}$．…（6分）     
由0＜B＜π，得：0＜B≤$\frac{π}{3}$． …（7分）
（2）正弦由定理得sin²A+sin²C=2sin²B． …（10分）
因B=$\frac{π}{4}$，故2sin²B=1，于是sin²A=cos²C．…（12分）
所以sinA=±cosC=±cos（$\frac{3}{4}$π-A）=±sin（A-$\frac{π}{4}$）．
所以A+（A-$\frac{π}{4}$）=π（或A=A-$\frac{π}{4}$，不合，舍），解得A=$\frac{5π}{8}$．
或者A=$\frac{π}{4}-A$，A=$\frac{π}{8}$，（或A+$\frac{π}{4}$-A=π，不合，舍），
故A=$\frac{5π}{8}$，或$\frac{π}{8}$． …（14分）

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于中档题．