Question

13．设函数f（x）=2cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象．当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求g（x）的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-4π，+∞）内的零点从小到大构成一个数列{a_n}，求{a_n}前n项和的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步通过函数的图象变换，最后利用函数的定义域求出函数的值域．
（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的零点求出数列的通项公式，最后利用数列的通项，进一步求出数列在定义域内的和的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x-$\sqrt{3}cos2x$
=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
将函数的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数g（x）=$2sin（2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{3}）$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由于：$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
所以：$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
则：函数g（x）的值域为：[-1，2]．
（Ⅱ）由于：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=0，
所以：$2x-\frac{π}{3}$=kπ，
解得：x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）．
f（x）在区间[-4π，+∞）内的零点从小到大构成一个数列{a_n}，
所以：${a}_{1}=-\frac{23}{6}π$，d=$\frac{π}{2}$．
则：${a}_{n}=-\frac{23}{6}π$+$\frac{π}{2}$（n-1）=$\frac{π}{2}$n-$\frac{13}{3}π$，
由于：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{n}≤0\\{a}_{n+1}≥0\end{array}\right.$
所以：$\left\{\begin{array}{l}\frac{π}{2}n-\frac{13}{3}π≤0\\ \frac{π}{2}（n+1）-\frac{13}{3}π≥0\end{array}\right.$，
所以：$\frac{23}{3}≤n≤\frac{26}{3}$
则：n=8．
所以：数列{a_n}的最小值为：${S}_{8}=\frac{8（-\frac{23}{6}π+4π-\frac{13}{3}π）}{2}$=-$\frac{50}{3}π$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换问题，利用函数的定义域求正弦型函数的值域，正弦型函数的零点问题的应用，利用等差数列的通项公式求数列的和．主要考查学生的应用能力．