Question

5．一个几何体的三视图如图所示，（其中的长度单位为cm），其中俯视图是一个腰长为2cm的等腰直角三角形，则这几何体外接球的表面积为12πcm²．

Answer 1

分析 首先根据三视图把平面图象转换成立体图形，进一步求几何体的外接球，主要利用线面之间的垂直的判定关系进一步进行论证，最后求出该几何体的外接球是以CD为直径的球体，最后求出外接球的半径和表面积．

解答 解：根据三视图得知：
该几何体的表面积是一个三棱锥，如下图所示：
由于：俯视图是一个腰长为2cm的等腰直角三角形，
所以：AB⊥BC，
又：正视图和侧视图都是直角三角形，
所以：AD⊥平面ABC，
则：AD⊥BC，
所以：BC⊥平面ABD，
则：BC⊥BD，
进一步利用勾股定理求出：AC=2$\sqrt{2}$，
最后求出：CD=2$\sqrt{3}$，
所以该三棱锥的顶点A、B是以CD为直径的球面上．
所以：S=4π•3=12π
故答案为：12π

点评 本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，线面垂直间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．