Question

3．已知函数f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（Ⅱ） 在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：
（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x²-lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．

解答 解：（I）f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），
导数${f^'}（x）=2x-a+\frac{1}{x}，a∈R$．
依题意，f′（1）=0．
所以f′（1）=3-a=0，
解得a=3；                    
（II）a=3时，f（x）=lnx+x²-3x，定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{1+2{x}^{2}-3x}{x}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1时，f′（x）＞0，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），单调递减区间为（$\frac{1}{2}$，1）；
（III）由f（x）＞0，得a＜$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$在x＞1时恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$，则g′（x）=$\frac{1+{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=1+x²-lnx，则h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．
故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，
所以 a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用参数分离和正确求导是解题的关键．