Question

13．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，AB=2，∠BAC=90°．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点D，连接SD、AD，利用等边三角形的性质可得：SD⊥BC，AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面SAD，即可证明．
（2）利用已知可得：△SBC≌△ABC，利用勾股定理的逆定理可得：SD⊥AD，于是SD⊥平面ABC，利用${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}SD$即可得出．

解答 （1）证明：取BC中点D，连接SD、AD，
∵△SAB与△SAC均为等边三角形
∴SB=SC=AB=AC=SA=2，
∴SD⊥BC，AD⊥BC，
又SD∩AD=D
∴BC⊥平面SAD，
∵SA?平面SAD，
∴SA⊥BC．
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴$BC=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$，
∵SB=AB，SC=AC，BC=BC，
∴△SBC≌△ABC，∴∠BSC=90°，
∴$SD=AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$
∵SD²+AD²=4=SA²，
∴SD⊥AD，
又SD⊥BC，BC∩AD=D，
∴SD⊥平面ABC，
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、全等三角形的判定与性质定理、勾股定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．