Question

4．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+{y^2}$=1，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不 重合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若MO=2OA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；
（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为y=kx（k＞0），当△AMB的面积为$\frac{{4\sqrt{14}}}{7}$时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆一个焦点和顶点求出双曲线a²，b²，然后求出方程．
（2）设M（x，y），A（m，n），利用MO=2OA，得到MA的方程，联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4（{m^2}+{n^2}）\;\\ mx+ny=0\;\end{array}\right.$，结合点A（m，n）在椭圆C上，可求点M的轨迹方程．
（3）AB所在直线方程为y=kx（k＞0）．与椭圆联立方程组，求出A坐标，M坐标，利用三角形的面积求出k，可得直线方程．

解答 解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为$（\sqrt{7}，0），（2\sqrt{2}，0）$，…（1分）
所以在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，a²=7，c²=8，b²=c²-a²=1，
因而双曲线方程为$\frac{x^2}{7}-{y^2}=1$．…（4分）
（2）设M（x，y），A（m，n），则由题设知：$|{\overrightarrow{OM}}|=2|{\overrightarrow{OA}}|$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=0$．
即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4（{m^2}+{n^2}）\;\\ mx+ny=0\;\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=\frac{1}{4}{y^2}\;\\{n^2}=\frac{1}{4}{x^2}\end{array}\right.$…（7分）
因为点A（m，n）在椭圆C上，所以$\frac{m^2}{8}+{n^2}=1$，即…$\frac{{{{（{\frac{y}{2}}）}^2}}}{8}+{（{\frac{x}{2}}）^2}=1$，
亦即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{32}=1$．所以点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{32}=1$．…（9分）
（3）因为AB所在直线方程为y=kx（k＞0）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+{y^2}=1\;\\ y=kx\;\end{array}\right.$得${x_A}^2=\frac{8}{{1+8{k^2}}}$，${y_A}^2=\frac{{8{k^2}}}{{1+8{k^2}}}$，
所以$O{A^2}={x_A}^2+{y_A}^2=\frac{8}{{1+8{k^2}}}+\frac{{8{k^2}}}{{1+8{k^2}}}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}$，$A{B^2}=4O{A^2}=\frac{{32（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}$．
又$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+{y^2}=1\\ y=-\frac{1}{k}x\end{array}\right.$解得${x_M}^2=\frac{{8{k^2}}}{{{k^2}+8}}$，${y_M}^2=\frac{8}{{{k^2}+8}}$，所以$O{M^2}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{{k^2}+8}}$．…（11分）
由于${S_{△AMB}}^2=\frac{1}{4}A{B^2}•O{M^2}$=$\frac{1}{4}×\frac{{32（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}×\frac{{8（1+{k^2}）}}{{{k^2}+8}}$=$\frac{{64{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（1+8{k^2}）（{k^2}+8）}}=\frac{32}{7}$…（14分）
解得$（6{k^2}-1）（{k^2}-6）=0⇒{k^2}=\frac{1}{6}或{k^2}=6$即$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{6}或k=±\sqrt{6}$
又k＞0，所以直线AB方程为$y=\frac{{\sqrt{6}}}{6}x$或$y=\sqrt{6}x$…（16分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．