Question

13．（理）关于x的实系数一元二次方程x²-2px+4=0的两个虚根z₁、z₂，若z₁、z₂在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为4．

Answer 1

分析 由题意两个虚数根z₁，z₂是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z₁+z₂|=2|p|，焦距为2c=|z₁-z₂|，然后求出长轴长．

解答 解：因为p为实数，p≠0，z₁，z₂为虚数，
所以（-2p）²-4×4＜0，即p²＜4，
解得-2＜p＜2．
由z₁，z₂为共轭复数，知Z₁，Z₂关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点，
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距2c=|z₁-z₂|=$\sqrt{|（{z}_{1}+{z}_{2}）^{2}-4{z}_{1}{z}_{2}|}$=2$\sqrt{4-{p}^{2}}$，
长轴长2a=2$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{4-{p}^{2}+{p}^{2}}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．